MENEMUKAN DALIL PYTHAGORAS DAN MEMBUKTIKAN DALIL PYTHAGORAS

MENEMUKAN DALIL PYTHAGORAS DAN MEMBUKTIKAN DALIL PYTHAGORAS

Makalah ini ditujukan

untuk memenuhi mata kuliah”Matematika 3”

Disusun oleh:

BINTI SALASATUL CHALIMAH (210610024)

Dosen pengampu:

KURNIA HIDAYATI , M.Pd

SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI

(STAIN)PONOROGO

2012

BAB 1

PEMBAHASAN

1. Dalil pythagoras

Dalam matematika, teorema pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku .teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan yunani abad ke -6SM, Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan india (dalam sulbasutra budhayana dan katyayana), yunani, tionghoa dan babilonia jauh sebelum pythagoras lahir. pythagoras mendapat kredit karena ialah yang pertama membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.

Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku, kakinya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, disebut sisi siku-siku. Dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. teorema pythagoras mengungkapkan hubungan antara dua sisi siku-siku dan hipotenous suatu segitiga siku-siku. Pythagoras menyatakan teorema ini dalam gaya geometris,sebagai pernyataan tentang luas persegi:

Jumlah luas persegi pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas persegi di hipotenus. dengan menggunakan aljabar, kita dapat memformulasikan ulang teorema tersebut kedalam pernyataan modern dengan mengambil catatan bahwa luas sebuah persegi adalah pangkat dua dari panjang sisinya. Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai sisi-sisi siku-siku dengan panjang a dan b dan hipotenus dengan panjang c,  maka a²+ b²=c² .

Teoremna ini telah menarik perhatian banyak ilmuwan, sehingga terdapat lebih ratusan cara pembuktiannya.

2. Pembuktian Dalil Pythagoras

1. Pembuktian cara 1

Perhatikan persegi berikut, memiliki panjang sisi yang sama, yaitu a+b,

                                        

         Persegi yang pertama di partisi demikian, sehingga terdapat dua persegi dengan panjang sisi dengan masing-masing a dan b, serta empat segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya a dan b. Persegi kedua di partisi sedemikian sehingga terdapat dua persegi dengan panjang masing-masing a dan b, serta empat segitiga siku-siku dengan panjang siku-sikunya a dan b. karena luas keempat segitiga pada kedua persegi tersebut sama, dapat disimpulkan bahwa

“Jumlah luas dua persegi dengan masing-masing panjang sisinya a dan b akan  sama dengan luas persegi yang panjang sisinya c

Selanjutnya, karena luas persegi dengan panjang sisinya a, b, dan c masing-masing adalah a², b²,dan c². pernyataan diatas dapat di nyatakan ulang sebagai

a²+b²=c²

           

2. Pembuktian cara 2

Digunakan empat segitiga siku-siku yang sama dengan siku-siku a dan b,dan hipotenousnya c. Tiga segitiga terakhir, masing-masing telah diputar 90^o,180^o,dan 270^o.

Masing-masig segitiga ini memiliki luas ab/2, sehingga jumlah luas keempat segitiga diatas adalah 2ab. keempat segitiga ini dapat disusun menjadi persegi berlubang berikut ini.

Lubangnya berbentuk persegi dengan panjang sisinya(a-b), sehingga luasnya adalah (a-b), perhatikan bahwa

Luas      besar =luas      kecil – 4 × luas    

               c²   = S × 4. ½ a.t

               c²   = (a-b)²  + 4.1/2 a.b

               c²    = a²-2ab+b² + 2 a.b

               c²   = a² + b²

contoh: 

sebuah sigitiga siku-siku mempunyai luas 24 cm². panjang alasnya 6 cm. Berapa cm panjang sisi miringnya?

Jawab:

L =  ½ a × t

24 cm²= ½ x 6 cm x t

24 cm² = 3 x t

t= 24 cm²/3

t= 8 cm

                  

Jadi tinggi segitiga itu adalah 10cm

BAB II

Kesimpulan

1. Dalil pythagoras

Dalam matematika, teorema pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku . Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku, kakinya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, disebut sisi siku-siku. Dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. teorema pythagoras mengungkapkan hubungan antara dua sisi siku-siku dan hipotenous suatu segitiga siku-siku.

2. Pembuktian Dalil Pythagoras

a.                   Pembuktian cara 1

Jumlah luas dua persegi dengan masing-masing panjang sisinya a,b dan c akan sama dengan luas persegi yang panjang sisinya c

Digunakan empat segitiga siku-siku yang sama dengan siku-siku a dan b,dan hipotenousnya c. Tiga segitiga terakhir, masing-masing telah diputar 90^o,180^o,dan 270^o.

Masing-masig segitiga ini memiliki luas ab/2, sehingga jumlah luas keempat segitiga diatas adalah 2ab. keempat segitiga ini dapat disusun menjadi persegi berlubang berikut ini.

Lubangnya berbentuk persegi dengan panjang sisinya(a-b), sehingga luasnya adalah (a-b), perhatikan bahwa

Luas    segiempat kecil =luas  segi empat besar – 4× luas segitiga    

               c²      = S × 4. ½ a.t

               c²      = (a-b)²  + 4.1/2 a.b

               c²        = a²-2ab+b² + 2 a.b

               c²      = a² + b²

            DAFTAR PUSTAKA

BUKU LAPIS, MATEMATIKA 3.
Matematika SMA

MENEMUKAN DALIL PYTHAGORAS DAN MEMBUKTIKAN DALIL PYTHAGORAS

Makalah ini ditujukan

untuk memenuhi mata kuliah”Matematika 3”

Disusun oleh:

BINTI SALASATUL CHALIMAH (210610024)

Dosen pengampu:

KURNIA HIDAYATI , M.Pd

SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI

(STAIN)PONOROGO

2012

BAB 1

PEMBAHASAN

1. Dalil pythagoras

Dalam matematika, teorema pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku .teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan yunani abad ke -6SM, Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan india (dalam sulbasutra budhayana dan katyayana), yunani, tionghoa dan babilonia jauh sebelum pythagoras lahir. pythagoras mendapat kredit karena ialah yang pertama membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.

Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku, kakinya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, disebut sisi siku-siku. Dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. teorema pythagoras mengungkapkan hubungan antara dua sisi siku-siku dan hipotenous suatu segitiga siku-siku. Pythagoras menyatakan teorema ini dalam gaya geometris,sebagai pernyataan tentang luas persegi:

Jumlah luas persegi pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas persegi di hipotenus. dengan menggunakan aljabar, kita dapat memformulasikan ulang teorema tersebut kedalam pernyataan modern dengan mengambil catatan bahwa luas sebuah persegi adalah pangkat dua dari panjang sisinya. Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai sisi-sisi siku-siku dengan panjang a dan b dan hipotenus dengan panjang c,  maka a²+ b²=c² .

Teoremna ini telah menarik perhatian banyak ilmuwan, sehingga terdapat lebih ratusan cara pembuktiannya.

2. Pembuktian Dalil Pythagoras

1. Pembuktian cara 1

Perhatikan persegi berikut, memiliki panjang sisi yang sama, yaitu a+b,

a              b

 

a                                 a

 

                                          b

         Persegi yang pertama di partisi demikian, sehingga terdapat dua persegi dengan panjang sisi dengan masing-masing a dan b, serta empat segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya a dan b. Persegi kedua di partisi sedemikian sehingga terdapat dua persegi dengan panjang masing-masing a dan b, serta empat segitiga siku-siku dengan panjang siku-sikunya a dan b. karena luas keempat segitiga pada kedua persegi tersebut sama, dapat disimpulkan bahwa

“Jumlah luas dua persegi dengan masing-masing panjang sisinya a dan b akan                                                                                                   sama dengan luas persegi yang panjang sisinya c

Selanjutnya, karena luas persegi dengan panjang sisinya a, b, dan c masing-masing adalah a², b²,dan c². pernyataan diatas dapat di nyatakan ulang sebagai

a²+b²=c²

           

2. Pembuktian cara 2

Digunakan empat segitiga siku-siku yang sama dengan siku-siku a dan b,dan hipotenousnya c. Tiga segitiga terakhir, masing-masing telah diputar 90^o,180^o,dan 270^o.

Masing-masig segitiga ini memiliki luas ab/2, sehingga jumlah luas keempat segitiga diatas adalah 2ab. keempat segitiga ini dapat disusun menjadi persegi berlubang berikut ini.

 

Lubangnya berbentuk persegi dengan panjang sisinya(a-b), sehingga luasnya adalah (a-b), perhatikan bahwa

Luas      besar =luas      kecil – 4 × luas    

               c²   = S × 4. ½ a.t

               c²   = (a-b)²  + 4.1/2 a.b

               c²    = a²-2ab+b² + 2 a.b

               c²   = a² + b²

contoh: 

sebuah sigitiga siku-siku mempunyai luas 24 cm². panjang alasnya 6 cm. Berapa cm panjang sisi miringnya?

Jawab:

L =  ½ a × t

24 cm²= ½ x 6 cm x t

24 cm² = 3 x t

t= 24 cm²/3

t= 8 cm

 

                                   x=√8²+6²cm

                                                   =√64+36cm

   8             x                            =√100cm

                                   X=10

               x

6

Jadi tinggi segitiga itu adalah 10cm

BAB II

Kesimpulan

1. Dalil pythagoras

Dalam matematika, teorema pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku . Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku, kakinya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, disebut sisi siku-siku. Dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. teorema pythagoras mengungkapkan hubungan antara dua sisi siku-siku dan hipotenous suatu segitiga siku-siku.

2. Pembuktian Dalil Pythagoras

a.                   Pembuktian cara 1

Jumlah luas dua persegi dengan masing-masing panjang sisinya a,b dan c akan sama dengan luas persegi yang panjang sisinya c

Digunakan empat segitiga siku-siku yang sama dengan siku-siku a dan b,dan hipotenousnya c. Tiga segitiga terakhir, masing-masing telah diputar 90^o,180^o,dan 270^o.

Masing-masig segitiga ini memiliki luas ab/2, sehingga jumlah luas keempat segitiga diatas adalah 2ab. keempat segitiga ini dapat disusun menjadi persegi berlubang berikut ini.

 

Lubangnya berbentuk persegi dengan panjang sisinya(a-b), sehingga luasnya adalah (a-b), perhatikan bahwa

Luas      besar =luas      kecil – 4    × luas    

               c²      = S × 4. ½ a.t

               c²      = (a-b)²  + 4.1/2 a.b

               c²        = a²-2ab+b² + 2 a.b

               c²      = a² + b²

            DAFTAR PUSTAKA

BUKU LAPIS, MATEMATIKA 3.